对偶格
参考资料:Regev讲义、Albrecht17
基础定义
对偶格:
对于一个满秩格$\Lambda$,其对偶格为
更一般的,可以定义为:
格$\Lambda$的对偶格中的所有点就是和任意格$\Lambda$中格点内积为整数的点。
在几何中一个简单的例子如下:对于任意一个向量点$x$,与该向量点乘积为整数的点为:点乘为0的超平面,点乘为1的超平面,…。超平面之间的距离为$1/||x||$
对偶基:
对于一个基$B=(b_1,\cdots,b_n) \in \mathbb{R}^{m\times n}$,对偶基$D=(d_1,\cdots,d_n) \in \mathbb{R}^{m\times n}$为唯一的基满足:
- $\text{span}(D)=\text{span}(B)$
- $B^TD=I$
性质
- $(\mathcal{L}(B))^* = \mathcal{L}(D)$
- 对任意格$\Lambda$,$(\Lambda^)^=\Lambda$
- 对任意格$\Lambda$,$\text{det}(\Lambda^*)=1/\text{det}(\Lambda)$
- 对任意秩为n的格$\Lambda$,$1 \le \lambda_1(\Lambda)\cdot \lambda_1(\Lambda^*) \le n $